Klausur 09-2013 => Aufgabe 2c

[Danilo83]

Hallo Axel,

ich würde die o.g. Aufgabe gerne mit Lagrange lösen.
In deiner Fibel hast du die Lösung vereinfacht, ich würde aber gerne bewusst den "langen Weg" gehen, um Routine zu bekommen.

Dazu habe ich die beigefügte Lagrangefunktion aufgestellt.
Ist diese soweit erst mal korrekt?

Nun würde ich die Lagrangefunktion nach g, g1, x1, Lambda_1 und Lambda_2 ableiten.
Alle diese Variablen kommen mindestens zwei mal vor, das sollte also passen

Nun bekomme ich 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten. Das sollte lösbar sein.
Aber irgendwie komme ich nur auf g = x1 und dadurch auf g1 = 33,3 - 0,3*g2 .

Nur bekomme ich nicht die finalen Werte g1 = 25 und x1 = 50 raus.

Kannst du mich hier auf die Spur bringen.
Das wäre super.

Viele Grüße,
Daniel

[Axel Hillmann]

Hallo Daniel,

In deiner Fibel hast du die Lösung vereinfacht, ich würde aber gerne bewusst den "langen Weg" gehen, um Routine zu bekommen.

Zeit ist ein knappes Gut in der Klausur.

Dazu habe ich die beigefügte Lagrangefunktion aufgestellt.
Ist diese soweit erst mal korrekt?

Ja.

Nun würde ich die Lagrangefunktion nach g, g1, x1, Lambda_1 und Lambda_2 ableiten.

Bitte nicht nach Lambda_1 und Lambda_2 ableiten! Das Ergebnis würde den beiden Nebenbedingungen entsprechen und keinen Schritt vorwärts bedeuten.

Aber irgendwie komme ich nur auf g = x1 und dadurch auf g1 = 33,3 - 0,3*g2 .

Das ist fast korrekt: g1 = (100/3) - (1/3)*g2

Nur bekomme ich nicht die finalen Werte g1 = 25 und x1 = 50 raus.

Wegen der identischen Nutzenfunktion gilt g2 = (100/3) - (1/3)*g1 und deshalb g1 = g2. Daraus folgt aus g1 = (100/3) - (1/3)*g2:

g1 = (100/3) - (1/3)*g1

bzw.

(4/3)*g1 = (100/3)

bzw.

g1 = 25

sowie

g = g1 + g2 = 25 + 25 = 50

Aus 100 = x1 + 2*g1 folgt

100 = x1 + 2*25

bzw.

x1 = 50

mit freundlichen Grüßen
Axel Hillmann

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